有关正弦函数的极限
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对于
lim
x
→
0
x
2
sin
1
x
{\displaystyle \lim _{x\to 0}x^{2}\sin {\frac {1}{x}}}
，
在任何包含0的區間上，除了
x
=
0
{\displaystyle x=0}
，
f
(
x
)
=
x
2
sin
1
x
{\displaystyle f(x)=x^{2}\sin {\frac {1}{x}}}
均有定義。
對於實數值，正弦函數的絕對值不大於1，因此
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
的絕對值也不大於
x
2
{\displaystyle x^{2}}
。設
g
(
x
)
=
−
x
2
{\displaystyle g(x)=-x^{2}}
,
h
(
x
)
=
x
2
{\displaystyle h(x)=x^{2}}
：
−
1
≤
sin
1
x
≤
1
{\displaystyle -1\leq \sin {\frac {1}{x}}\leq 1}
−
x
2
≤
x
2
sin
1
x
≤
x
2
{\displaystyle -x^{2}\leq x^{2}\sin {\frac {1}{x}}\leq x^{2}}
g
(
x
)
≤
f
(
x
)
≤
h
(
x
)
{\displaystyle g(x)\leq f(x)\leq h(x)}
lim
x
→
0
g
(
x
)
=
lim
x
→
0
h
(
x
)
=
0
{\displaystyle \lim _{x\to 0}\ g(x)=\lim _{x\to 0}\ h(x)=0}
，根據夾擠定理
lim
x
→
0
f
(
x
)
=
0
{\displaystyle \lim _{x\to 0}f(x)=0}
。
对于
lim
x
→
0
sin
x
x
{\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {\sin x}{x}}}
，
首先用幾何方法證明：若
0
<
x
<
π
2
{\displaystyle 0 ， cos x < sin x x < 1 {\displaystyle \cos x<{\frac {\sin x}{x}}<1} 。 稱(1,0)為D。A是單位圓圓周右上部分的一點。 C {\displaystyle C} 在 O D {\displaystyle OD} 上，使得 A C {\displaystyle AC} 垂直 O D {\displaystyle OD} 。過 A {\displaystyle A} 作單位圓的切線，與 O D {\displaystyle OD} 的延長線交於 E {\displaystyle E} 。 由定義可得 x = ∠ A O D = a r c A D {\displaystyle x=\angle AOD=arcAD} ， tan x = A E {\displaystyle \tan x=AE} 。 A C < A D < a r c A D {\displaystyle AC sin x < x {\displaystyle \sin x sin x x < 1 {\displaystyle {\frac {\sin x}{x}}<1} a r c A D < A E {\displaystyle arcAD x < tan x {\displaystyle x<\tan x} cos x < sin x x {\displaystyle \cos x<{\frac {\sin x}{x}}} 因為 lim x → 0 + cos x = 1 {\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}\cos x=1} ，根據夾擠定理 lim x → 0 + sin x x = 1 {\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}{\frac {\sin x}{x}}=1} 。 另一邊的極限可用這個結果求出。 高斯函數 编辑 高斯函數的積分的應用包括連續傅立葉變換和正交化。 一般高斯函數的積分是 I ( a ) = ∫ 0 a e − x 2 d x {\displaystyle I(a)=\int _{0}^{a}e^{-x^{2}}\,dx} ，現在要求的是 I ( ∞ ) = ∫ 0 ∞ e − x 2 d x {\displaystyle I(\infty )=\int _{0}^{\infty }e^{-x^{2}}\,dx} 。 被積函數對於y軸是對稱的，因此 I ( ∞ ) {\displaystyle I(\infty )} 是被積函數對於所有實數的積分的一半。 ( 2 I ) 2 = [ 2 ∫ 0 a e − x 2 d x ] 2 = [ ∫ − a a e − x 2 d x ] 2 = ∫ − a a ∫ − a a e − ( x 2 + y 2 ) d x d y {\displaystyle (2I)^{2}=\left[2\int _{0}^{a}e^{-x^{2}}dx\right]^{2}=\left[\int _{-a}^{a}e^{-x^{2}}dx\right]^{2}=\int _{-a}^{a}\int _{-a}^{a}e^{-(x^{2}+y^{2})}dxdy} 這個二重積分在一個 ( − a , − a ) , ( − a , a ) , ( a , − a ) , ( a , a ) {\displaystyle (-a,-a),(-a,a),(a,-a),(a,a)} 的正方形內。它比其內切圓大，比外接圓小。這些可用極坐標表示： ∫ 0 2 π ∫ 0 a r e − r 2 d r d θ ≤ ( 2 I ) 2 ≤ ∫ 0 2 π ∫ 0 a 2 r e − r 2 d r d θ {\displaystyle \int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{a}re^{-r^{2}}\,dr\,d\theta \leq (2I)^{2}\leq \int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{a{\sqrt {2}}}re^{-r^{2}}\,dr\,d\theta } π ( 1 − e − a 2 ) ≤ ( 2 I ) 2 ≤ π ( 1 − e − 2 a 2 ) {\displaystyle \pi (1-e^{-a^{2}})\leq (2I)^{2}\leq \pi (1-e^{-2a^{2}})} lim a → ∞ π ( 1 − e − a 2 ) = lim a → ∞ π ( 1 − e − 2 a 2 ) = π ⊢ [ 2 I ( ∞ ) ] 2 = π {\displaystyle \lim _{a\to \infty }\pi \left(1-e^{-a^{2}}\right)=\lim _{a\to \infty }\pi \left(1-e^{-2a^{2}}\right)=\pi \vdash [2I(\infty )]^{2}=\pi } lim a → ∞ ( 2 I ) 2 = π {\displaystyle \lim _{a\to \infty }(2I)^{2}=\pi } I ( ∞ ) = π 2 {\displaystyle I(\infty )={\frac {\sqrt {\pi }}{2}}}